Introduction

物体的惯性矩（MOI）由平行轴定理确定，平行轴定理平行于物体轴线的质量，并且它也穿过重力中心。PAT表明，物体的惯性矩与物体质量和轴距平方的乘积之和定义了PAT。它有助于找到杆、圆盘等物体的MOI。在本教程中，将进一步讨论平行轴定理。

History of Parallel Axis theorem

平行轴定理是克里斯蒂安·惠更斯在研究复摆时提出的。平行轴定理也被称为惠更斯-施泰纳定理，因为它是以“克里斯蒂安·惠更斯”和“雅各布·施泰纳”命名的

Parallel axis theorem

物体的平行轴定理用于评估具有平行于重心轴的轴线的固体和平面物体的MOI。根据Abdulghany（2017）的说法，物体的惯性矩决定了它在特定平面上的存在条件。

平行轴定理是由物体围绕穿过质量中点的轴的惯性与物体质量乘以两个轴之间距离的平方的乘积之和确定的（库，2022）。正如Wang&；Ricardo（2019），这一方面决定了定理的核心。

这个定理适用于任何固体，无论其形状如何

Figure 1: parallel Axes theorem

The formula for the Parallel axis theorem

平行轴定理与固体有关，通过将物体的惯性矩与物体质量乘以两个轴之间的平方距离的乘积相加来确定（phy astr，2022）。

I = I_x + Ma²

在这里

在这里‘I’ = moment in the body, I_x = moment of inertia of the particular rigid body and M = mass of the sopd object and a² determines the square of the distance between two particular axes.

Figure 2: Parallel Axis Theorem

Derivation of the Parallel Axis theorem

这个定理可以通过以下方式导出，设I_x与特定固体物体的惯性矩有关，该物体正在穿过质心（设轴为AB），I将是物体绕使用a'B'确定的轴存在的惯性矩，该物体存在于距离“a”处（phy-aster，2022）。

现在，当考虑质量为“m”、距离重心点“r”的粒子时，可以得出a'B'=r+a

现在

I = Σm ( r + a ) ²

I = ∑m (r² + a² + 2ra)

I = ∑m r² + ∑m a² + ∑2ra

I = I_x  +  a²  ∑m  +  2a∑m r

I = I_x  +  Ma² + 0

I = I_x  +  Ma²

Parallel Axis theorem of Rod

杆的平行轴定理将主要由杆的惯性矩决定。杆的惯性矩公式为，

I = ⅓ ML²

杆的末端和杆的中心之间的距离通过，

a = L/2

因此，平行轴定理是通过以下方式导出的

I_x = ⅓ ML² - M(L/2)²

I_x = ⅓ ML² - 1/4 ML²

I_x = 1/12 ML²

Moment of inertia

先前已经研究过，惯性与身体表现的质量有关，以便抵抗线性运动状态的特定状态，无论是物体在运动还是处于静止状态（Rempe等人，2019）。物体的惯性矩通过符号Im表示，它只是物体存在的一种度量，以及它抵抗线性运动状态或旋转运动变化的相关能力。

在直线运动和旋转运动的情况下，惯性矩都起着确切的作用，因此可以比较这两种情况。因此，可以确定与物体相关的惯性矩是物体抵抗其运动状态变化的能力。

Im＝Mr＜sup＞2

Figure 3: Moment of inertia

Apppcation of perpendicular and parallel axis theorem

垂直与平行轴定理被用于求任何刚性物体绕给定轴的惯性矩。为了计算旋转运动中任何物体的惯性矩，利用了平行轴与垂直轴定理。当任何物体绕特定轴的惯性矩已知时，利用平行轴定理，并用于计算绕平行于任何其他给定轴的轴的惯性力矩。在已知物体对两个垂直给定轴的惯性矩的情况下，利用垂直轴定理计算物体绕第三垂直轴的惯性力矩。

Conclusion

平行轴定理被应用于确定物体绕其平行轴的惯性矩。这个定理是克里斯蒂安·惠更斯在研究复摆原理时提出的。这个定理通常被称为惠更斯-施泰纳定理或简称为施泰纳定理。特定物体在轴向平面内的惯性矩等于物体的惯性矩与质量乘积的总和乘以所涉及的两个轴之间距离的平方。

FAQs

Q1.惯性矩是多少

任何物体的转动惯量都表示为转动惯量。惯性矩是与物体抵抗运动状态的趋势相关的度量；它可以是线性运动或旋转运动。惯性矩取决于物体的质量。更大的身体质量表示保持惯性状态的能力更强。

Q2.什么时候使用平行轴定理

当得到特定物体绕一个轴的惯性矩时，就会用到这个定理。然而，需要找到惯性矩是与第一轴平行的另一个轴。

Q3.平行轴定理的一般表达式是什么

平行轴定理通常由I=I_x+Ma²的表达式确定

这里，I_x表示绕通过质心的轴旋转的物体的惯性矩。“M”表示物体的总质量，a表示通过所考虑的特定物体质心的轴之间的距离。我表示平行于旋转轴的物体的惯性矩。

Q4.平行轴定理是谁发现的

平行轴定理是由查尔斯·惠更斯和雅各布·斯坦纳发现的。因此，它也被称为惠更斯-施泰纳定理，或者简单地说，它被称为施泰纳定理。

References

Journals

Abdulghany，A.R.（2017）。转动惯量平行轴定理的推广。《美国物理学杂志》，85（10），791-795。检索自：https://aapt.scitation.org/doi/full/10.1119/1.4994835

Rempe，D.、Sridhar，S.、Wang，H.和；吉巴斯，L.（2019）。学习三维刚性物体的可推广最终状态动力学。在IEEE/CVF会议计算机视觉和模式识别研讨会论文集（第17-20页）。检索自：http://openaccess.thecvf.com

Wang，J.和；Ricardo，B.（2019）。惯性矩计算的挤压法。物理老师，57（8），551-554检索自：https://www.researchgate.net/profile/Bernard-Ricardo/pubpcation/336707332_Squashing_Method_for_Moment_of_Inertia_Calculations/pnks/5dc3761a299bf1a47b1c03fa/Squashing-Method-for-Moment-of-Inertia-Calculations.pdf

Websites

图书馆，2022年。关于惯性简介：平行轴定理。检索自：https://pressbooks.pbrary.upei.ca/statics/chapter/inertia-intro-parallel-axis-theorem/[检索日期：2022年6月7日]

phy-astgr，2022。关于惯性矩。检索自：http://hyperphysics.phy-astr.gsu.edu/hbase/mi.html[检索日期：2022年6月7日]

phy astr，2022年。关于平行轴定理。检索自：http://hyperphysics.phy-astr.gsu.edu/hbase/parax.html[检索日期：2022年6月7日]