Fig:1 Elastic colpsion in one dimension

假设两个质量为$mathrm｛m_1｝$和$mathrm｛m_2｝$的物体或物体以直线或均匀线移动，初始速度为$matherm｛u1｝｝$，$mathr姆｛u2｝}$（$mathrm{u{1}｝$大于$mathr姆·{u{2}}$），并且在物体碰撞后，它们的速度变为$mathrem｛v_1｝$和$mathrm｛v_2｝$as（$mathrem{v_2｝$大于$mathrm{v_1｝$）

根据动量守恒定律，

$$mathrm｛m_1 u_｛1｝+m_2 u_2=m_1 v_｛1}+m_2 v_2｝$$

$$mathrm｛m_1 u_｛1｝-m_1 v_1=m_2 v_｛2｝-m-2 u2｝$$

$$mathrm｛m_1（u_{1}-v_1）=m_2（v_2-u_2）：：…。(1)}$$

根据能量守恒定律，KE是守恒的

$$mathrm｛frac｛1｝｛2｝m_1u_1^｛2}+frac{1｝{2｝m-1u_2^｛2中｝=frac{1｝｝｛2｝m2v_1^｛2｝+frac｛1｝$$

$$mathrm｛frac｛1｝｛2｝m_1u1^{2｝-frac｛1}｛2}m_1v_1^{2}=frac{1｝{2｝m_2v_2^｛2}-frac{1｝$$

$$mathrm｛frac｛1｝｛2｝m_1（u1 ^｛2}-v_1 ^｛2中｝）=frac{1｝{2｝m_2（v_2 ^｛2｝-u2 ^｛2｝）｝$$

$$mathrm｛m_1（u1^{2}-v_1^{2}）=m_2（v_2^{2｝-u_2^{2*）：：：…。(2)}$$

将等式（2）除以（1）

$$mathrm｛frac｛m_1（u1^{2}-v_1^{2}）｝｛m-1（u1-v_1）｝=frac{m_2（v_2^{2｝-u_2^{2*）｝$$

$$mathrm｛frac｛（u1+v_1）（（u1）-v_1）｝｛（u1）-v_1$$

（由于取消了相同的值）

$$mathrm｛（u1+v_1）=（v_2+u2）｝$$

$$mathrm｛（u1-u_2）=（v_2-v_1）｝$$

因此，碰撞前的相对速度$mathrm{（u1-u_2）}$等于碰撞后的相对碰撞$mathrm{（v_2_v_1）}$。

Elastic Colpsion in Two Dimension

从能量守恒的角度来看，

碰撞前保持的总动能（KE）总是与碰撞后保持的总能量（KE）相同或相等。

$$mathrm｛frac｛1｝｛2｝m_1u_1^｛2}+frac{1｝{2｝m-1u_2^｛2中｝=frac{1｝｝｛2｝m2v_1^｛2｝+frac｛1｝$$

（1/2将被取消，所以我们有）

$$mathrm｛m_1 u1 ^｛2｝+m_1 u2 ^｛2｝=m_2 v_1^｛2中｝+m_2 v_2^｛中｝｝$$

由于线性动量是恒定的，

碰撞前保持的总线性动量与碰撞后保持的总线动量相同。对于水平组件

$$mathrm｛m_1 u_｛1｝+m_2 u2=m_1 v_{1｝：cos heta+m_2 v_2:cos heta｝$$

对于垂直组件

$$mathrm｛0=m_1 v_｛1｝sin heta+m_2 v_ 2 sin heta}$$

四个未知量，即$mathrm{m_1，m_2，v_1，u2，heta}$，通过测量四个未知量中的一个，可以求解其他三个未知量的值。

Inelastic Colpsion in One Dimension

在非弹性碰撞中，物体相互粘附，并以与速度相同的方向运动。动量是守恒的，但动能可能会变化，并改变为不同类型的能量。由于物体相互粘连，动量守恒为，

$$mathrm｛m_1 u_｛1｝+m_2 u2=（m_1+m_2）v｝$$

在这里，最终速度变为v，我们发现v的值为：

$$mathrm｛v=压裂｛m_1 u_｛1｝+m_2 u2｝｛（m_1+m_2）｝｝$$

同样损失的动能由，

$$mathrm｛KE＝frac｛1｝｛2｝m_1u_｛2}-frac{1｝{2｝（m_1+m_2）v_2｝$$

Inelastic Colpsion in Two Dimension

正如我们所知，任何粒子系统的总线性动量都将保持不变，这意味着总初始动量等于总最终动量。

正如我们所拥有的，

$$mathrm｛m_1 u_｛1｝+m_2 u2=m_1 v_{1｝：cos heta+m_2 v_2:cos heta｝$$

$$mathrm｛0=m_1 v_｛1｝sin heta-m2 v_ 2 sin heta｝$$